第53章刚才我算到哪来了

    第二道题是几何题，关于圆内接四边形的性质。
    陈末没有使用解析几何建系，以他现在的属性，几乎一眼就看出了这道题的本质。
    在数学直觉和洞察力的双重加持下，他只用了五分钟，就通过几何的方式给出了证明。
    然后是第三道题。
    陈末翻开试卷最后一页，看到题目时，眉头微微皱起。
    【题3】设n是大于1的整数。定义
    （1）证明：当n为奇数时，F(n)=2^?φ(n)。
    （2）设p是奇素数，证明：
    （3）利用上述结果，证明：对于任意正整数n&amp;gt;1，有F(n)=√n/2^φ(n)?μ(n)
    其中μ(n)是莫比乌斯函数，并讨论μ(n)取值为0，±1的情况与F(n)的关系。
    果然，一试的题目简单，二试的题目必定会上难度，尤其是这第三题，跟之前做过的题已经几乎不是一个档次的题目了。
    这道数论的题目，考的知识点极深，即便是普通数学系的大学生来，恐怕也不一定能做得出来。
    在陈末前方不远处，林知远兴奋的搓了搓手，作为一个去年就拿到过CMO金牌的选手，前面做的那些题都让他很不过瘾。
    因为这些题他会做，其他人也会做。
    但看到这道题，他终于开心的笑了，他知道，重头戏终于来了，省赛应该就是通过这道题来筛选进入冬令营的名额。
    反覆读了好几次题目，林知远才开始在草稿纸上推导，
    第一问还算比较简单，只需要利用复根法，考虑x^{2n}-1=0的根ω_k=e^{πik/n}，则sin(kπ/2n)=︱ωk?1︱/2，然后通过分解x^{2n}-1=(x^n-1)(x^n+1)，提取与gcd(k，n)=1对应的因子，就能得到F(n)=2^?φ(n)。
    花了二十多分钟，做完第一问，林知远只觉得神清气爽，挺直了腰背，在原地得意了好一会儿，这才看向第二小问。
    这一次，他思考了一会儿，然后开始动笔，利用x^p-1=(x-1)(x^{p-1}+……+1)，令x=1得到p=∏_{k=1}^{p?1}︱1?e^{2πik/p}︱，只需要将这个式子换成正弦表示，就能得到第二问的结果。
    做完这道题，林知远额头上已经冒出了几滴细密的汗珠，就连他也感到有些吃力了。
    「看得出来，今年这题还真是北大的老师出的!」
    林知远在心中腹诽，这难度，跟他去年做的完全不一样了，如果不是去年经过CMO的磨砺，又多学习了一年，他恐怕也会在这道题上栽跟头。
    他下意识的往回看了眼，可惜他的位置因为角度问题，看不到后方的陈末和邱明远，他也不好做得太过分，否则被监考老师认为是作弊，那可就没地说理了。
    但他不用看也知道，那两个家伙必定也被这道题困住了。
    没有耽搁时间，他看向了第三小问。
    经过一番推导后，林知远很快来了灵感。
    「只需要利用容斥原理，将F(n)写成F(n)=∏_d︱nG(d)^μ(d)的形式，G(d)是某个已知乘积，然后代入计算……」
    嘴里念念有词，林知远眼睛越来越亮，双手运行如飞，在草稿纸上写下一行又一行的推导过程。
    哗哗哗……
    一连写了好几张草稿纸，林知远还没能算出结果，这个证明过程需要大量代数运算和分类讨论。
    林知远额头已经开始冒出豆大的汗珠，但他彻底沉浸在了其中，做得酣畅淋漓。
    这一刻他根本没有任何争胜的念头，没有任何其他的念头，只有眼前这道题!
    同一考室中，其他同学看向林知远的方向，暗暗心惊，「不愧是学霸，竟然文思泉涌。」
    他们看着题目脑子里却是一片空白，根本没有半点思路。
    好绝望。
    另一边，陈末也正在运笔如飞的推导第三小问的证明过程。
    如果这是学校的考核，此时他或许已经放弃了推导，因为他觉得这道题的难度已经超过了他所学的知识点，所以才会有如此复杂的推导过程。
    数学，不应该如此复杂才对。
    根据陈末这些天对数学的了解，他觉得，数学应该是简洁优雅的存在。
    如果某个结论过于繁琐复杂，那么一定是得出这个结论的人没有找到正确的方法。

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第53章 刚才我算到哪来了

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